Ch.1 Geometric Optics 幾何光學

一、幾何光學基本原則

• Geometric optics（幾何光學）：以光線（ray）描述的光學現象，光線沿直線行進，除非被透鏡或面鏡偏折；直線行進的光線遇到物體（如透鏡或面鏡）可發生 refraction（折射）、reflection（反射）或兩者。p.53, p.56
• 四條基本規則：① 光在均勻介質中直線行進；② 光路只能被 reflection（依 law of reflection）或 refraction（依 Snell's law）改變；③ 經過多個折射面時，前一面所成的像即為下一面的物；④ 光路可逆（reversible）。p.57
• Diffraction（繞射）、polarization（偏光）、interference（干涉）屬光的波動性質（wavefront theory of light），fluorescence、phosphorescence、雷射（amplification by stimulated emission）屬光的量子性質；這些幾何光學以外的「其他現象」皆於第 2 章討論。抗反射膜（spectacle lens 的 antireflection coating）是 interference 的應用：四分之一波長厚的薄膜使前後表面反射光相差半波長，產生完全的 destructive interference（破壞性干涉）而消除反射（本章外）⁠^{Q213 Q270}。p.56–57；BCSC 3 p.122–124
• Fermat's principle（費馬原理）：兩點間光走「所需時間最短」的路徑；直線傳播、反射定律、Snell's law 皆可解釋為 Fermat's principle 的表現（Appendix 1-2）。p.54, p.87, p.105–107
• Paraxial（近軸）：光線靠近光軸、與光軸夾角很小；本章的 vergence equation、lensmaker's equation 皆在近軸近似（φ ≈ sin φ ≈ tan φ）下由 Snell's law 推導。p.55, p.66, p.104
• Stigmatic imaging（理想成像）：點光源聚焦於單一像點；aberration（像差）即任何偏離 stigmatic imaging 的情形。p.53, p.56

二、折射率（Refractive index）

• 定義：n = 真空光速 / 介質中光速；真空光速 299,792,458 m/s，空氣中幾乎相同。n 越大，光在該介質中越慢；任何物質介質的 n 必 > 1.0⁠^Q255。p.57
• 光學玻璃加入添加物可使 n 由 < 1.4 調到 > 1.9；空氣、水、角膜的折射率應背熟。p.57
• Vitreous（玻璃體）n = 1.336，可用 4/3 近似，誤差可忽略。p.58
• IOL 計算的生物測量：過去光學生物測量儀以廠商決定的假設折射率量眼軸；有人提出（it has been suggested）依各眼內構造各自折射率分段量測的 "sum of segments" 眼軸，可能使所需 IOL 度數的測量更準確。p.58

出處 p.58（表中近似值為本書計算所用；數值可能隨條件而異：水的 n 隨溫度而變，HEMA polymer 的 n 隨含水量而異、與 monomer 略有不同）

• 依 Table 1-1：空氣（1.000）與角膜（1.376）的折射率差，大於角膜與房水（1.376 vs 1.336）之差；角膜–房水介面使空氣–角膜介面的屈光力減少約 10%⁠^Q255。p.58, p.67–68
• Gullstrand 模型眼的 crystalline lens（水晶體）n：cortex 1.386、nucleus（equivalent core lens）1.406，高於角膜 1.376；n 越高光速越慢 → 光在水晶體中比在角膜中慢（本章外）⁠^Q255。p.57–58；BCSC 3 p.146–147
• 光由角膜（n 1.376）進入房水（n 1.336）屬由較高 n 進入較低 n；total internal reflection 發生於光由較高 n 射向較低 n、入射角超過臨界角時。高折射率鏡片材料一般而言折射率越高，Abbe number（阿貝數）越低；Abbe number 越低，chromatic aberration（色像差）越大（本章外）⁠^Q255。p.56, p.64–65；BCSC 3 p.213–214

三、Snell's law 與稜鏡（Prisms）

Snell's law（司乃耳定律）

• n1 sin θ1 = n2 sin θ2；θ 為光線與 surface normal（法線）的夾角。p.58–59
• 由低 n 進入高 n（光變慢）→ 偏向法線；由高 n 進入低 n → 偏離法線。此種平面介面的偏折造成物體視位移（如看水中的魚、眼用稜鏡）。p.58–59
• 例：魚的光由水（高 n）進入空氣時偏離法線，漁夫看到的是位於真魚後方的虛像，須朝虛像「前方」投矛。p.59

稜鏡的基本性質

• Dispersion（色散）：折射率隨光頻率（波長）而變；色散稜鏡把白光分成光譜即 chromatic aberration（色像差）。眼用稜鏡選用對各頻率折射率幾乎相同的材料，以減少色分離。p.58–59
• 光經稜鏡偏向 base（底）；觀察者看到的虛像則移向 apex（尖）。p.53, p.59–60
• Convex（plus，凸）透鏡 = 兩稜鏡 base 對 base；concave（minus，凹）透鏡 = 兩稜鏡 apex 對 apex。p.59
• 同一稜鏡偏折量隨入射角而變；光線對稱通過時偏折最小（minimum deviation position）。p.60

Prism power（稜鏡度）與持握位置

• 標示度數只在依其校正位置擺放時才準確：glass prism（玻璃稜鏡）用 Prentice position（光線垂直進入或離開其中一面，後表面垂直視線）；plastic prism / prism bar（塑膠稜鏡、稜鏡條）用 minimum angle of deviation（MAD）position，可用「後表面垂直注視目標方向」來近似，看遠處目標時即相當於後表面置於 frontal plane（額狀面）。臨床較常用塑膠稜鏡⁠^Q619。p.60–61
• Prentice position（持握位置）≠ Prentice's rule（看偏離鏡片光學中心時產生的稜鏡效應，第 5 章）⁠^Q242。p.60–61
• Prentice's rule（本章外）：Δ = h（cm，偏離光學中心距離）× D（鏡片度數），即 lens decentration（鏡片偏心）每 1 cm、每 1 D 產生 1Δ 稜鏡；h 以公分計（與稜鏡度定義一致），不同於其他光學計算用公尺⁠^Q242。p.60–61；BCSC 3 p.185, p.201
• 疊在一起（相鄰表面接觸）的兩個稜鏡度數不可相加，實際偏折遠大於兩者和（第二片遠離 Prentice position），絕不可如此組合；但分放兩眼前的稜鏡效果可相加 → 大角度斜視宜把稜鏡分到兩眼測量⁠^Q619。p.61–62
• Prism diopter（Δ，稜鏡屈光度）：距稜鏡 100 cm 處光線偏移的公分數 = 100 × tan（偏折角）；15Δ 稜鏡在 1 m 處偏移 15 cm（朝 base）。p.55, p.61–62
• 稜鏡方向以 base 表示：base up / down / in / out；同時有垂直與水平偏斜（如 CN IV palsy，第四對腦神經麻痺）時，稜鏡度以向量相加：右眼 4Δ BO + 3Δ BU = 5Δ、base 在 143° 子午線（base up and out）。臨床上很少需要在意此細節：處方可分別寫出各分量（原文作 individual base-up and base-down powers），由 optician 計算；但要知道鏡片會磨成單一個方向既非 base up 也非 base down 的稜鏡。p.61, p.63

計算範例

• 由距離換算 Δ：Δ = 偏移（cm）/ 距離（m）。光線在 40 cm 處偏移 5 cm → 5 / 0.4 = 12.5Δ（等於 100 cm 處偏移 12.5 cm）⁠^Q275。p.61–62
• Example 1-1（Prentice position、n = 1.5、頂角 30°）：入射面不偏折；出射面 1.5 × sin30° = sin θ2 → sin θ2 = 0.75、θ2 = 48.6°；偏折角 48.6 − 30 = 18.6°，tan 18.6° = 0.3365 → 33.65Δ。p.63
• Prentice's rule 雙眼範例（本章外，Fig 5-12 antimetropia）：右眼 +2.00 D、左眼 −2.00 D，經 bifocal 看近時視線在光學中心下方 8 mm、鼻側 2 mm（原文假設的常用值）：垂直右眼 0.8 × 2 = 1.6Δ BU、左眼 1.6Δ BD → 一眼遠視一眼近視時兩者相加，induced vertical phoria = 3.2Δ；水平右眼 0.2 × 2 = 0.4Δ BO、左眼 0.4Δ BI → 0.4Δ BO − 0.4Δ BI = 0（無 horizontal induced phoria）⁠^Q219。p.61；BCSC 3 p.201–203

Fresnel prism（Fresnel 稜鏡）

• 稜鏡度數取決於兩面夾角而非厚度；Fresnel prism 把斜面分成許多同角度的小稜鏡，同度數但薄得多。p.63–64
• Fresnel Press-On prism（可彎曲塑膠，可以任意 base 方向貼於鏡片）：光學品質不如 ground-in prism，但 ground-in prism 昂貴、增加鏡片重量與厚度；許多情況下稜鏡只需暫時使用（尤其成人，例如門診試戴處理 non–pupil-involving CN III palsy，未侵犯瞳孔的第三對腦神經麻痺），或度數需常更改，此時 Fresnel Press-On prism 很有用。p.64
• 缺點：可能弄髒或自鏡片脫落、外觀可能不佳；高度數需較厚材料，可能使視力更模糊；chromatic aberration 可能降低 best-corrected visual acuity（最佳矯正視力）。p.64

四、臨界角與全內反射（Critical angle and total internal reflection）

• 發生於光由高 n 射向低 n介質時：入射角超過 critical angle（臨界角）時無法滿足 Snell's law，光全部反射回較密介質 = total internal reflection（TIR，全內反射）。恰在臨界角時折射光沿介面行進（折射角 90°）。p.56, p.64–65
• 公式：sin θcrit = n2 / n1（n1 為較密介質）。p.65
• 計算：某介質進入空氣臨界角 30° → sin30° = 0.5 = 1/n → n = 2.0⁠^Q284。p.65
• 空氣–淚膜（tear film）介面：sin θcrit = 1.00/1.33 = 0.75 → θcrit = 48.75°（空氣–水性組織約 48°）。p.65–66
• 臨床：前房角射出的光在空氣–淚膜介面發生 TIR，不用光學器材無法從外面看到前房角；goniolens（前房角鏡）貼於角膜，消除 TIR 才能看到隅角結構⁠^Q213。p.65

五、單一曲面折射：Vergence equation 與 lensmaker's equation

公式與符號規則

• Vergence equation（聚散度方程式）：n1/u + P = n2/v，簡寫 U + P = V。p.66–67
• Lensmaker's equation（造鏡者方程式）：P = (n2 − n1) / r；兩式在近軸近似下同時由 Snell's law 推得（Appendix 1-1）。p.66, p.103–105
• 符號：光由左向右；介面左側距離為負、右側為正（u、v、r 皆帶號）。r 單位為公尺。p.67
• Vergence（聚散度）= 物或像到透鏡距離的倒數；空氣中 U = 1/u、V = 1/v。介質 n > 1 時 n/u、n/v 稱 reduced vergence（約化聚散度）。單位：reciprocal meters = diopter（D，屈光度）；計算前一律換成公尺⁠^Q238。p.55–56, p.67
• 遠物 U = 0 → 像位於焦點，距離 = 1/P。p.66

出處 p.67

空氣中薄透鏡練習（Exercises 1-2 至 1-6，P = +2.00 D 除首題外）

• U = 0、P = +4.00 D → V = +4、v = +0.25 m。p.68
• u = −4 m → −0.25 + 2 = +1.75 → v = +0.57 m（實像）；u = −1 m → V = +1 → v = +1 m（實像）。p.69, p.80
• u = −0.5 m（物在焦點）→ V = 0 → v = ∞，不成像（afocal）；u = −0.4 m → −2.5 + 2 = −0.5 → v = −2 m（虛像，在透鏡左側）。p.69, p.80

像空間為水（n2 = 1.33）時（Exercises 1-7 至 1-10）

• 必須用完整式 V = 1.33/v：u = −4 m → v = 1.33/1.75 = 0.76 m；u = −1 m → v = 1.33 m；u = −0.5 m → ∞；u = −0.4 m → v = 1.33/−0.50 = −2.66 m。像在水中時距離 = n/V，比空氣中長。p.69
• 範例：+6.00 D 透鏡左為空氣、右為水，物在左 50 cm：U = −2、V = −2 + 6 = +4 D（正值 → 實像在右側水中）；v = 1.33/4 ≈ 0.33 m，即水中透鏡後約 33 cm（像空間為水，須用完整式 V = n2/v）⁠^Q238。p.67–69

Aphakic eye（無水晶體眼）：單一折射面的實例

• 單一曲面分隔兩種折射率區域的情形實務上很少見，重要例外是 aphakic eye：沒有水晶體，第一階近似可忽略角膜–房水介面（該介面使空氣–角膜介面屈光力減少約 10%）。p.67–68
• 範例：角膜 44.0 D、眼內 n = 1.33，遠物 U = 0 → 1.33/v = 44 → v = 30.2 mm（角膜後）；Gullstrand 模型眼的 fovea 位於角膜後 24.0 mm，aphakia 為 extreme refractive hyperopia 的例子（除非摘除水晶體前為高度近視 > 20.00 D）⁠^Q257。p.67–68；BCSC 3 p.147, p.157

IOL 在空氣中與在房水中的度數（Example 1-2）

• Planoconvex IOL（平凸，凸面朝角膜）、r = 8.0 mm、n = 1.5：空氣中 (1.5 − 1.0)/0.008 = +62.50 D（平的後表面為 0）；房水中（n = 1.333）(1.5 − 1.333)/0.008 = +20.90 D（精確值 20.875，原文進位為 20.90） → IOL 在空氣中約為標示度數的 3 倍（標示度數假設 IOL 置於眼內、浸於房水）；兩者差 62.50 − 20.90 = 41.6 D⁠^Q277。p.68
• 通式：曲率不變時 P ∝ (n鏡片 − n介質） → P空氣 = P房水 × (n鏡片 − 1)/(n鏡片 − 1.336)。p.68
• 例 1：n = 1.492、房水中 20 D：曲率不變，度數比 = 折射率差比；房水 n = 1.336 → 差 1.492 − 1.336 = 0.156，空氣差 1.492 − 1 = 0.492 → 20 × 0.492/0.156 ≈ 63 D（約 3 倍）⁠^Q216。p.58, p.68
• 例 2：標示 +22.0 D、題目設 n = 1.785、房水 n = 1.336 → 22 × 0.785/0.449 ≈ +38.5 D；放到空氣中，鏡片與介質的折射率差變大，度數上升⁠^Q287。p.68

六、雙面透鏡、主平面、光線追蹤與焦深

Thin lens 與 thick lens

• Thin-lens approximation（薄透鏡近似）：許多情況下，前後表面間距很小時可視為單一折射物體，P = P1 + P2（注意符號）。空氣中雙凸透鏡前後表面皆為正屈光力（後表面 lensmaker 公式分子分母皆為負）。p.56, p.70
• Thick lens（厚透鏡）：近軸光線、一階近似下 P = P1 + P2 − (t/n) P1 P2（t：厚度，公尺；n：鏡片折射率）；t → 0 時回到薄透鏡式。某些情況（如正常人眼的水晶體或 IOL）不能忽略前後表面間距。p.70–71

Principal planes（主平面）

• 平行光經厚透鏡聚於 F2，入射與出射光延長線交於 second（back）principal plane（過光軸於 H2）；由 F1 發出、出射平行者交於 first（front）principal plane（H1）。H1、H2 = principal points（主點）。p.71
• 物 vergence 以前主平面為參考、像 vergence 以後主平面為參考。主平面位置取決於鏡片設計與物空間、鏡片、像空間的折射率；meniscus lens（新月形鏡片，眼鏡用）的主平面可能落在鏡片之外。p.71–72
• 主平面位置的計算超出本書範圍；空氣中的眼用鏡片（眼鏡、隱形眼鏡）多數用途以薄透鏡近似即足夠；眼內折射計算因水晶體厚度佔眼軸比例大，多數可能需要較詳細處理 → 部分較新的 IOL 公式（如 Olsen、Barrett Universal 2）納入 lens thickness 以提高 IOL 度數計算準確度。p.73
• General refracting systems：再複雜的系統，在近軸下都可化為一對主平面 + 單一屈光力 P：U 參考 H1、加上 P、V 參考 H2。p.76
• Example 1-4：主平面相距 1.0 cm、P = +2.00 D，物距自 H1 算、像距自 H2 算時與前述練習相同；若像距改自 H1（前主平面）量，則各多 1.0 cm：0.57 + 0.01 = +0.58 m、1 + 0.01 = +1.01 m、∞、−2 + 0.01 = −1.99 m（原文印 +1.1 m、−1.9 m，依同一算法應為 +1.01 m、−1.99 m）。P = +10.00 D 時 u = −4、−1、−0.5、−0.4 m 對應 v = 0.10256、0.111、0.125、0.1333 m。p.77
• Gaussian optics（高斯光學）：以線性代數處理近軸光學，用兩種 2 × 2 矩陣——translation operator（光在 n 介質中前進距離 t，即把 vergence 換算到下一個面）與 refraction operator（在曲面加上 P）——相乘求整體系統。p.54, p.79

Ray tracing（光線追蹤）

• 空氣中薄凸透鏡三條光線：① 平行光軸 → 經 F2；② 經 F1 → 出射平行光軸；③ 經透鏡中心（主點）→ 看似不偏折（實際進出透鏡時有輕微 zigzag），用來確認作圖。p.73

出處（Fig 1-14、1-15）p.73–75

Depth of focus 與 depth of field

• Depth of focus（焦深）：固定物體下，可得到可接受清晰像的像位置範圍；屬成像系統的性質，可用可接受的矯正鏡度數範圍（D）表示。焦深隨鏡片而異；Pinhole（針孔）焦深無限大，透鏡的焦深則受限得多。p.54, p.73–75
• Depth of field（景深）：在單一像位置都清晰的物位置範圍；臨床上對開立 bifocal / trifocal（雙焦、三焦）給 presbyopia（老花）很重要；即使焦深小，景深仍可能很大，視多種因素而定。p.54, p.75–76

七、模型眼計算與鏡片有效度（Effectivity of lenses）

Gullstrand 模型眼（Example 1-5）

• Gullstrand 模型眼（與人眼非常接近）調節放鬆時：全眼 P = +58.64 D、玻璃體 n = 1.336、後主平面在角膜前表面後 1.602 mm；遠物 U = 0 → 1.336/v = 58.64 → v = 22.78 mm → 距角膜前表面 24.382 mm；眼軸因人而異，但此數值表示許多眼的焦點幾乎恰落在視網膜上。p.78

簡化模型眼：屈光力與眼軸的換算

• 原則：遠物（U = 0）的像距 = n / P，故使像恰落在網膜所需屈光力 = n / 眼軸（m）；myopia 是眼的屈光力相對眼軸過多、焦點在網膜前，hyperopia 是屈光力不足、焦點在網膜後；ametropic eye 需要 diverging 或 converging lens 矯正；effectivity 修正對弱於約 3.00 D 的鏡片可忽略。p.67, p.78；BCSC 3 p.157
• 例 1：屈光力 55.42 D、n = 1.33、眼軸 23 mm → 需 1.33/0.023 ≈ 57.83 D，不足 2.41 D（焦點在網膜後）→ 需 +2.41 D 隱形眼鏡⁠^Q261。p.67, p.78；BCSC 3 p.157
• 例 2：屈光力 57 D、眼軸 24 mm → 需 1.33/0.024 ≈ 55.42 D，過強約 1.58 D（近視）→ 隱形眼鏡約 −1.5 D⁠^Q259。p.78；BCSC 3 p.157
• 例 3（axial myopia，軸性近視：眼球異常長）：全眼 +59 D、n = 1.33、近視 −3.00 D → 眼軸只配 59 − 3 = 56 D → 眼軸 = 1.33/56 ≈ 23.75 mm⁠^Q282。p.78；BCSC 3 p.157

Effectivity of lenses（Example 1-6）

• 定義：鏡片與目標成像位置距離改變時，為維持同一像位置所需的度數調整。p.54, p.78
• 公式：遠物經 P 成像於 v；鏡片往右（往眼睛）移動 t 公尺後所需度數 P2 = P / (1 − tP)；凹透鏡同樣適用（注意符號）；鏡片遠離眼睛時 t 為負。p.78
• 等價的 far point（遠點）法：矯正鏡把遠物成像於眼的遠點（與 fovea 共軛、調節放鬆）→ 先求遠點相對角膜位置，再算新位置所需焦距。遠視者遠點在網膜後方。p.78；BCSC 3 p.186–187
• 由眼鏡換成隱形眼鏡：遠視（正鏡）的隱形眼鏡度數要比眼鏡大；BCSC 例：+4.00 D 眼鏡、標準頂點距離 13.75 mm → 4/(1 − 0.01375 × 4) = +4.232 D（提示隱形眼鏡度數應增加 0.25 D）；此修正對弱於約 3.00 D 的鏡片可忽略。p.78
• BCSC 第 5 章（本章外）：矯正鏡片不論正負，移近眼睛會降低其 effective focusing power（像往後移離 fovea），移離眼睛會增加其 focusing power（像往前移離 fovea）；屈光不正大於 ±5.00 D 時開處方須考慮 vertex distance。BCSC 3 p.187
• 例 1（近視眼鏡 → 軟式隱形眼鏡）：−9.0 D、vertex distance（頂點距離）12 mm，鏡片移向眼 t = +0.012：−9/(1 − 0.012 × (−9)) = −9/1.108 ≈ −8.1 D；近視鏡片移近眼睛，負度數要減少（Table 6-4 頂點 12 mm 換算表：−8.00 D → −7.25 D、−10.00 D → −9.00 D）⁠^Q212。p.78；BCSC 3 p.234
• 例 2（遠視鏡移遠）：+9.0 D、頂點 12 → 22 mm：焦點在鏡後 111.1 mm = 角膜後 99.1 mm（遠點）；新位置焦距 99.1 + 22 = 121.1 mm → P = 1/0.1211 ≈ +8.26 D，約 +8.25 D（公式：鏡片往左移 t = −0.010，9/(1 + 0.010 × 9) = 8.26）。正鏡移離眼睛 focusing power 增加 → 所需正度數降低⁠^Q222。p.78；BCSC 3 p.186–187
• 例 3（近視鏡移遠）：−8.0 D、頂點 10 → 14 mm：遠點在鏡前 125 mm = 角膜前 135 mm；新焦距 135 − 14 = 121 mm → P = −1/0.121 ≈ −8.26 D，約 −8.25 D（變化約 0.26 D；公式 −8/(1 − 0.004 × 8) = −8.26）。負鏡移離眼睛 focusing power 增加（像往前移）→ 需增加負度數⁠^Q235。p.78；BCSC 3 p.186–187

出處 p.78；BCSC 3 p.187

八、實像、虛像與放大率

Real vs virtual（實／虛）

• 多面系統：各面依序處理，前一面的像為下一面的物；對下一面而言無法分辨光是來自真實物體或前一面的像。p.79
• Real object（實物）：光自其發散而來（U 為負）；virtual object（虛物）：光朝其會聚（U 為正）。Real image（實像）：在成像光線同側（V 為正，透鏡右側）；virtual image（虛像）：在無成像光線的一側（V 為負）。p.79–80
• 兩鏡系統範例：物在 +3.00 D 左 50 cm → −2 + 3 = +1，實像在第一鏡右 1 m，即第二鏡（+2.00 D）右 50 cm → 對第二鏡為虛物（U = +2）→ +2 + 2 = +4，終像在第二鏡右 25 cm（實像）。p.80

Transverse magnification（橫向放大率，MT）

• 空氣中：MT = h2/h1 = v/u = U/V（u、v 同 vergence 符號規則）；不同介質：MT = n1v / (n2u)。又稱 lateral / linear magnification。p.80–81
• MT 為負 → 倒立（不是縮小）；|MT| < 1 → 縮小，|MT| > 1 → 放大（原文此句寫「magnification is indicated by an MT less than 1 in absolute value」，與同頁 Exercise 1-19 的 |MT| = 0.66 為縮小、1-22 的 +5 為放大矛盾，應為筆誤）。p.81–82
• 例：物高 +4 cm、像高 −2 cm → MT = h2/h1 = −2/+4 = −0.5（倒立、縮小一半）⁠^Q263。p.81
• Exercises：物在 +5.00 D 左 0.5 m → V = +3、v = 0.33 m、MT = U/V = −2/3 ≈ −0.67（原文截為 −0.66；倒立、約 2/3 大小）；+2.00 D 左 1 m → MT = −1（倒立、等大）；+2.00 D 左 0.5 m → v = ∞，數學上「無限」放大，實際上 MT 為 null；+2.00 D 左 0.4 m → v = −2 m、MT = +5（正立、放大 5 倍）。p.81–82

Axial（longitudinal）magnification（軸向放大率，ML）

• 空氣中折射系統：ML = (MT)²（由 vergence equation 微分而得），故在空氣中為正值。p.54, p.82
• 例 1：物高 4 cm、長 0.5 cm，MT = 2×、ML = 4× → 像高 8 cm、像長 0.5 × 4 = 2 cm⁠^Q218。p.81–83
• 例 2：物距 2 m、像距 −1 m → |MT| = 1/2 → ML = (MT)² = 1/4⁠^Q278。p.81–82
• 臨床：此效應使直接／間接檢眼鏡所見影像明顯變形；direct ophthalmoscope 單眼觀察難以感受深度，indirect ophthalmoscope（間接檢眼鏡）的 aerial image 一般以立體方式觀察；視集光鏡度數，由 14.00 D 換到 30.00 D 集光鏡時 distortion factor 可相差多達 4 倍。整體立體效果因 periscopic 觀察系統的小瞳距而減弱，但腫瘤、視神經盤凹陷等眼底結構的形狀通常仍略被誇大。p.82–83
• Example 1-8：間接檢眼鏡 MT = 眼屈光力（約 60 D）/ 集光鏡度數（類似 Keplerian telescope）→ 15 D、20 D、30 D 分別 4×、3×、2×，相對軸向放大 16 : 9 : 4；15 D 所見視網膜厚度近 20 D 的 2 倍、30 D 的 4 倍；90 D 鏡（此情境臨床上難以使用）所成像約為視網膜厚度的 44.4%。periscope 降低檢查者有效瞳距，使所見深度比正常觀看小，但眼底結構的相對深度不受影響。p.83

九、Conjugate points、nodal points 與 reduced optical system

• Conjugate points（共軛點）：構成物–像關係的一對點；因光路可逆，互為彼此的像。左方無窮遠點與 F2 共軛、F1 與右方無窮遠點共軛；F1 與 F2 彼此不共軛。空氣中 F1、F2 距前後主平面 f = 1/P。p.54, p.83
• Nodal points（節點，N1、N2）：光線對準 N1 以角度 θ 入射，出射時好像從 N2 以相同角度 θ 射出；作用相當於薄透鏡的中心點。n1 = n2 時節點與主點重合；Example 1-10（厚正透鏡、左為空氣、右為水）中節點偏向較密介質。節點特別適合計算像大小。p.55, p.83–85
• 節點 ≠ 針孔：有限孔徑系統並非所有光都經過節點；小的 posterior subcapsular（後囊下）混濁並不因靠近後節點而不成比例地降低視力；但此混濁可能有效散射光線，大幅降低 contrast sensitivity（對比敏感度）。p.84
• Example 1-9（reduced model eye）：節點在網膜前 17 mm、角膜後 7 mm；1.0 cm 目標在 33 cm → 像高 = 10 mm × 17/337 = 0.50 mm（單位要一致）。p.84
• Reduced（equivalent）optical system（簡化等效系統）：多鏡系統可等效為 1 對主平面、1 對焦點、1 對節點、1 個屈光力，近軸性質完全相同，只需一次 vergence 計算。p.55, p.84–85
• 視網膜像大小（apparent size）部分取決於物體在 N1 所張的角；靠近眼睛的小物體可比遠處的大物體張更大的角：物體大小為 2 倍但距離 4 倍遠時，所張角只有一半 → 這是望遠鏡放大作用的基礎。p.85

十、像差（Aberrations）

Point spread function 與 wavefront

• Stigmatic imaging 實際上從未完美達成：即使最佳焦點，單一物點的光仍分布於一小區域。p.86
• Point spread function（PSF，點擴散函數）：單一物點在像面的光分布，描述系統像差；曲線下面積固定（= 點光源總能量）；PSF 越窄越尖，影像越清晰；系統所有成像特性皆可由 PSF 推得。p.55, p.86
• 屈光力的概念只適用於近軸區；角膜地形圖的 axial 與 tangential power map 給周邊每點一個「power」，兩者都不符本章對屈光力的正確定義。分析近軸以外與像差的適當方法為 1950 年代初發展的 wavefront theory（波前理論）。p.86–87
• Reference sphere（參考球面）：以像點為中心、所有光線同時通過即為 stigmatic focus 的球面；geometric wavefront（幾何波前）是等時面（isochronic surface）；實際波前與參考球面的差 = wavefront aberration（波前像差），為平滑但不規則的面，形狀通常類似洋芋片或玉米片。p.87–88
• 原文：認為 wavefront 某種程度上指光的波動性是常見誤解；幾何光學忽略光的波動性，幾何波前是等時面，不論光是波或粒子（isochrone 一詞或許更貼切，wavefront 為歷史沿用）。p.87

Zernike polynomials 與 Seidel aberrations

• Zernike polynomials（Zernike 多項式）：最常用的一組基本參考形狀，為定義於圓盤區域的數學函數；任何波前像差都是這些固定形狀的加總（類比任何 toric 面 = sphere + cylinder）。p.56, p.88
• Seidel aberrations（19 世紀 von Seidel）：spherical aberration（球面像差）、coma（彗形像差）、astigmatism（散光）、curvature of field（場曲）、distortion（畸變）。p.56, p.88–89
• 定義：SA = 單一軸上物點、經透鏡不同半徑處光線的屈折不同；coma = 單一軸外物點、不同半徑光線焦距不同；astigmatism = 單一物點、不同子午線焦距不同；curvature of field = 距光軸不同距離的物體焦距不同；distortion = 距光軸不同距離的物體橫向放大率不同⁠^Q1764。p.88–89
• Zernike 階層（Fig 1-27）：piston（只影響相位，通常無法偵測）→ 1st order tilt（≈ 稜鏡偏折）→ 2nd order defocus（近視/遠視）與 astigmatism → 3rd order coma、trefoil（三重對稱，有時見於屈光手術後的併發症）→ 第五列（4th order）quatrefoil、secondary astigmatism，中央為 spherical aberration，是白內障與屈光手術時極為重要的高階像差⁠^{Q1590 Q1764}。p.89–90
• 臨床最重要的 wavefront aberrations：spherical aberration、coma、trefoil。p.53
• Pure myopia 的焦點仍是 stigmatic：波前仍為球面但半徑比參考球面小，波前像差呈拋物線形。p.90–91

Spherical aberration（球面像差）與 night myopia

• Seidel 像差中臨床最重要的是 SA。Positive SA：周邊光線聚焦於中央（近軸）光線之前；波前像差呈碗狀（中央平、邊緣陡）。p.90–91
• 好處：人眼是「imperfectly perfect」，SA 可增加 depth of focus（焦深）與立體感。p.90
• 壞處 ①：移動最佳焦點，且強烈依賴瞳孔大小——正 SA 者瞳孔放大時變得較近視 = night myopia（夜間近視）；可開立夜間或低光源使用、遠用處方多加 −0.50 D 的眼鏡治療⁠^{Q270 Q1590 Q1764}。p.91
• 壞處 ②：客觀視功能下降，如 contrast sensitivity（對比敏感度）降低，尤其在低光源下；③ 主觀症狀：低光源下點光源周圍 glare（眩光）與 halos（光暈）⁠^Q1590。p.91
• 多數醫師白內障手術使用帶 negative SA 的 aspheric IOL（非球面人工水晶體），以恢復原水晶體數值、減少全眼正 SA、提升術後視覺品質。p.91
• 本章外（BCSC 13）：臨床最常用的 wavefront 量測技術是 Hartmann-Shack wavefront sensor；wavefront aberration 受 pupil size 強烈影響，瞳孔放大時高階像差更明顯。SA 為徑向對稱的 fourth-order aberration，臨床上是 night myopia 的原因，常在 RK、傳統 myopic LASIK 與 surface ablation 後增加；標準 myopic 雷射矯正後角膜呈 oblate、誘發正 SA。Coma 常見於 decentered corneal graft、keratoconus 與 decentered laser ablation⁠^{Q1590 Q1764}。BCSC 13 p.22, p.26–27

Chromatic aberration（色像差）

• 屬 monochromatic 以外的像差：白光的顏色被透鏡系統分開；原因為 dispersion（色散），即折射率隨波長（wavelength）變化⁠^Q269。p.54, p.92
• 稜鏡對藍光的偏折比紅光強；凸透鏡的藍光焦點在紅光焦點之前 → 眼睛對藍光所成像通常比對紅光約近視 0.50 D⁠^{Q204 Q269}。p.92
• Duochrome test 原理（本章外）：因眼的 chromatic aberration，較短波長（green）聚焦在較長波長（red）之前；商用濾片的紅綠 chromatic interval 約 0.50 D，白光下清晰對焦時，眼對綠字 0.25 D 近視、對紅字 0.25 D 遠視⁠^Q204。BCSC 3 p.179
• 臨床應用：此差距是 Lancaster red–green（duochrome）test（紅綠測試）用於 accommodative control 的基礎（勿與 BCSC Section 6 所述斜視用的 Lancaster red–green test 混淆）⁠^{Q204 Q269}。p.92
• Duochrome 判讀（本章外）：綠字較清楚 = overminused → 應加正度（RAM–GAP：red add minus; green add plus）；故戴正鏡的遠視者看綠字較清楚，表示正度數不足⁠^Q204。p.92；BCSC 3 p.179–180
• 色像差相關：Abbe number（阿貝數，代表折射率隨波長的變化；Abbe number 越高色像差越小，本章外 BCSC 3 p.213）、wavelength、duochrome test；astigmatism 屬 Seidel aberrations，即原文所稱的 monochromatic（單色）像差，chromatic aberration 則是在這些單色像差之外、由 dispersion 造成⁠^Q269。p.88–89, p.92；BCSC 3 p.213

十一、散光鏡片：Conoid of Sturm、SE、power cross、PVMG、JCC

Toric lens 的兩條焦線

• Toric（spherocylindrical）鏡片把一個點成兩條互相垂直的線像，一條平行柱鏡軸、一條垂直柱鏡軸；兩焦線位置分別用兩主子午線的 vergence equation 求。p.92
• 某子午線的屈光力所形成的焦線方向垂直於該子午線（即平行於產生它的柱鏡軸）；原文：「光通過 spherocylindrical lens 會在軸子午線（axis meridian）方向形成線」⁠^Q272。p.92, p.95
• Example 1-11A：點光源在 +2.00 +3.00 × 030 左 1 m（U = −1）：30° 子午線 +2 D → V = +1 → 1 m 處、方向 120° 的線（實、倒立、等大）；120° 子午線 +5 D → V = +4 → 25 cm 處、方向 30° 的線（實、倒立、1/4 大）；兩焦線相距 75 cm。p.92–94
• Example 1-11B：物在左 25 cm（U = −4）：30° 方向線像 V = +1（右 1 m，實）；120° 方向線像 V = −2（左 50 cm，虛）。p.93
• Example 1-11C：純柱鏡 +2.00 × 180、物在左 1 m：一條線像 V = +1（右 1 m、實、沿 180°），另一條 V = −1（左 1 m、虛、沿 90°，與物同位置）。p.93
• Maddox rod：高度數平行柱鏡陣列；實像在柱鏡後數 mm、太近看不到，病人看到的是垂直於柱鏡軸的虛像線，用於檢查眼位。p.93

Conoid of Sturm 與 circle of least confusion

• Conoid of Sturm（Sturm 錐）：散光鏡片出射光形成的三維圖形；由一條焦線往另一條焦線，截面由線 → 橢圓 → 圓 → 另一方向橢圓 → 另一方向線。p.54, p.93–94
• Circle of least confusion（COLC，最小模糊圈）：位於兩焦線之間的圓形截面，以「屈光度」計在正中間，不是線性距離的中點（圖中 COLC 較靠近其中一條焦線）。p.93–94
• Spherical equivalent（SE，等效球面度）= 兩主子午線平均 = sphere + cylinder/2；plus 或 minus cylinder 寫法 SE 完全相同。例：+2.00 +3.00 × 010 → +3.50 D；+2.00 −5.00 × 020 → −0.50 D。p.56, p.94
• 用 SE 求 COLC 位置：V = U + SE。例：SE +3.50、U = −1 → +2.50 D → 鏡後 40 cm。p.95
• 例 1：+3.0 DS / −3.0 DC × 180 → 兩子午線 +3 與 0 D → COLC = SE = 3 − 1.5 = +1.50 D（兩焦線分別對應 +3 與 0 D）⁠^Q229。p.93–95
• 例 2：眼 −6.0 / −3.0 × 180、遠物 → 兩焦線 −6 與 −9 D → COLC = SE = −6 − 1.5 = −7.5 D（位於兩焦線之間的屈光度中點）⁠^Q256。p.94–95
• 例 3：物在 +4.0 −2.0 × 60 左 1 m：60° 子午線 +4 → V = +3 → 33 cm（一端焦線）；150° 子午線 +2 → V = +1 → 100 cm（另一端）；「最清晰」= COLC：SE = +3 → V = −1 + 3 = +2 → 鏡後 50 cm⁠^Q260。p.92–95

Power cross（屈光力十字）與 transposition

• Power cross 表示 toric 鏡片兩主子午線（必相差 90°）的最大、最小屈光力；任何 toric 鏡片只有一種 power cross 表示。p.55, p.95–96
• 純柱鏡在軸子午線（axis meridian）屈光力為 0，屈光力在與軸垂直的 power meridian。例：+2.00 × 015 → 15° 為 0、105° 為 +2.00 D；−3.00 +2.00 × 015 → 105° 為 −1.00 D、15° 為 −3.00 D。p.95
• Transposition（正負柱鏡換算）：新球面 = 舊球面 + 舊柱鏡；新柱鏡 = 同值反號；軸 ±90°。例：+1.00 +2.00 × 080 = +3.00 −2.00 × 170；−2.00 −3.00 × 010 = −5.00 +3.00 × 100；−1.00 −0.75 × 180 = −1.75 +0.75 × 090。p.96–97
• Power cross 只能合併子午線方向相同（軸相同或相差 90°）的鏡片：逐子午線相加。例：+2.00 +1.00 × 080 與 +3.00 −2.00 × 080 → 80° 為 +5、170° 為 +4 → +5.00 −1.00 × 080（= +4.00 +1.00 × 170）。p.96
• Example 1-12：眼的多餘屈光力相當 +1.00 × 180（180° 為 0、90° 為 +1）→ 加 +1.00 @ 180° 的柱鏡成 +1.00 球面，再加 −1.00 D 球面 → 矯正鏡 −1.00 +1.00 × 090（矯正柱鏡的屈光力在其軸 90° 外）。p.96

兩柱鏡合成的計算範例

• 例 1：+3.0 × 150 與 −2.0 × 60（軸互相垂直）：+3.0 × 150 的屈光力在 60° 子午線（+3），−2.0 × 60 的屈光力在 150° 子午線（−2） → 以軸 150 寫 plus cylinder：球面 = 150° 的 −2、柱鏡 = +3 − (−2) = +5 → −2.0 / +5.0 × 150（= +3.0 / −5.0 × 60）⁠^Q215。p.95–96
• 例 2：+3.0 DC × 30 與 −4.0 DC × 120：120° 子午線 +3、30° 子午線 −4 → −4.0 DS / +7.0 DC × 30（= +3.0 / −7.0 × 120）⁠^Q226。p.95–96
• 例 3（over-refraction 戴鏡驗光）：隱形眼鏡 −4.25 / −0.75 × 180（180° −4.25、90° −5.00）+ 戴鏡驗光 −1.00 / −0.50 × 090（90° −1.00、180° −1.50）→ 180° −5.75、90° −6.00 → −5.75 DS / −0.25 DC × 180（兩者子午線方向相同，可用 power cross 逐子午線相加；over-refraction 柱鏡軸與現有矯正不在 0° 或 90° 時，可用 lensmeter 讀合成度數）⁠^Q292。p.96；BCSC 3 p.182–183

Power-versus-meridian graph（PVMG）

• 任意子午線屈光力：Pθ = PS + PC sin²(θ − φ)（θ 自水平逆時針量、面對病人；PS 球面、PC 柱鏡、φ 柱鏡軸）。例：+3.00 D 柱鏡軸 020 在 050 子午線：3 × sin²30° = +0.75 D。p.97
• PVMG 每個 toric 鏡片只有一張（plus / minus 寫法相同），比 power cross 更完整；兩片接觸的薄 spherocylindrical 鏡片可把各自的 sin² 子午線屈光力式直接代數相加，不論柱鏡軸是否一致。Plus cylinder 讀法看谷底（球面 = 谷底值、軸 = 谷底子午線）；minus cylinder 看峰頂。p.97–98
• 例 1：−3.0 DS + 2.0 DC × 160 在垂直（90°）方向：θ − φ = −70°，sin²70° = 0.94² ≈ 0.884 → −3 + 2 × 0.884 ≈ −1.23 D⁠^Q264。p.97
• 例 2：−4.0 −1.50 × 170 與 −2.0 −1.50 × 10 的水平（180°）屈光力：兩軸距 180° 皆 10°，柱鏡分量同為 −1.5 × sin²10° ≈ −0.05 D → 差值只來自球面 = 2 D⁠^Q273。p.97

Jackson cross cylinder（JCC，交叉圓柱鏡）

• 兩垂直主子午線屈光力大小相等、符號相反的 spherocylinder；手柄位於兩主子午線之間，轉動即對調兩子午線。JCC 的 SE 永遠為 0，任何 SE = 0 的鏡片都是 JCC（如 −1.00 +2.00 × 180）；製作：一面磨柱鏡，另一面磨半度數、反號的球面。p.54, p.97–98
• JCC 標記（本章外）：白點 = plus cylinder 軸、紅點 = minus cylinder 軸。BCSC 3 p.177
• 例：正視眼前放 JCC、白點水平（plus 軸 180、minus 軸 90）：正度數作用於垂直子午線（光聚在網膜前、形成水平焦線）；負度數作用於水平子午線 → 水平子午線光線聚焦在網膜後，形成垂直焦線（焦線平行於產生它的柱鏡軸＝紅點方向）⁠^Q272。p.92, p.95, p.97–98；BCSC 3 p.177

SE 練習（Exercises 1-27 至 1-30）

• −1.00 +2.00 × 180 → SE 0（等同 JCC）；−1.00 +4.00 × 180 → +1.00 D；−1.00 −2.00 × 090 → −2.00 D；−5.00 −6.00 × 090 → −8.00 D。p.98

十二、面鏡（Mirrors）

反射定律與平面鏡

• Law of reflection（反射定律，specular reflection）：反射角 = 入射角（皆以法線為準）。p.55, p.99
• Plane mirror（平面鏡）：只反轉傳播方向（reversal of the image space），不改變 vergence；像為正立、虛像、等大、左右相反。曲面鏡另外增減 vergence。p.99

面鏡公式與符號

• P = −2/r = −1/f；1/u + P = 1/"v"（U + P = V）；r（帶號、公尺）= 焦距的 2 倍。p.99
• 符號：凹向左（concave）r 為負 → P 為正；凸向左（convex）r 為正 → P 為負。p.99
• "v" 在反轉的像空間：由右向左會聚為正 vergence（實像在鏡前、與物同側），由右向左發散為負（虛像在鏡後）。面鏡公式中沒有折射率。p.99
• 平行光照凹面鏡 → 會聚於鏡前 r/2 的焦點；照凸面鏡 → 似由鏡後 r/2 發散（虛焦點）。p.99
• 三條特殊光線：① 經曲率中心 C（不是鏡頂點）→ 原路反射；② 經焦點 → 反射後平行光軸；③ 平行光軸 → 經焦點（焦點在鏡面與 C 正中）。p.99–100
• Convex mirror（凸面鏡）永遠形成虛像、正立、縮小；concave mirror（凹面鏡）視物距而定，物在焦點與鏡面之間時才成正立、虛像、放大；物越靠近鏡面放大越少，貼近鏡面時與物等大（似平面鏡）。p.100
• 日常生活中常見的例子只有少數：大半徑凹面鏡當化妝/刮鬍鏡（臉在焦點內）；小半徑凸面鏡當汽車後照鏡；眼科以角膜當小半徑凸面反射鏡測曲率（keratometry，角膜弧度測量），Hirschberg test 的角膜反光點亦同（Fig 1-35B）。p.101

面鏡計算範例

• Example 1-13 刮鬍鏡：凹面鏡 r = −2.0 m → P = +1.00 D、焦點在鏡左 1.0 m；站在鏡前 0.5 m：U = −2 → V = −2 + 1 = −1 → v = −1 m（鏡後 1 m 的虛像）→ MT = U/V = −2/−1 = +2×（正立放大；像在鏡後的距離是臉在鏡前距離的 2 倍）⁠^Q274。p.101
• 凸面鏡例：r = +50 cm（+0.5 m）→ P = −2/0.5 = −4 D；物在左 1 m：U = −1 → V = −5 → 鏡後（右側）20 cm 虛像，MT = U/V = 1/5，正立、縮小（符合凸面鏡永遠形成正立、縮小虛像）⁠^Q236。p.81, p.99–100
• 凹面鏡例：曲率半徑 50 cm（r = −0.5 m）→ P = +4 D、焦距 25 cm；物在左 100 cm：U = −1 → V = +3 → 實像在鏡左側（與物同側）33 cm，MT = −1/3（倒立、1/3 大）；物在 50 cm（曲率中心）：U = −2、V = +2 → 像亦在曲率中心，MT = −1（倒立等大）⁠^Q288。p.81, p.99–100

十三、望遠鏡（Telescopes）

• Galilean（terrestrial）telescope（伽利略望遠鏡）：低度數正鏡為 objective（物鏡）+ 高度數負鏡為 ocular / eyepiece（目鏡），鏡間距 = 兩焦距之差；成正立像⁠^Q289。p.54, p.102
• Keplerian（astronomical）telescope（克卜勒望遠鏡）：低度數正鏡為物鏡 + 高度數正鏡為目鏡，鏡間距 = 兩焦距之和；成倒立像，內加 inverting prisms（倒像稜鏡）可正立；多數 binoculars（雙筒望遠鏡）即 Keplerian + 倒像稜鏡。（技術上兩型間距皆為 f1 − f2，Keplerian 的 f2 取負。）⁠^{Q237 Q289}p.54, p.102
• 許多常用的手術用 loupes（放大鏡）採 Galilean 構造，也有 astronomical 型。p.102
• 平行入射光以平行光射出 → 整體為 afocal system（無焦系統）：沒有焦點，也沒有主平面與節點⁠^Q265。p.102
• 橫向放大 MT = −P1/P2，兩型皆使像小於原物；但像離眼近很多，所張角較大。Fig 1-36 例：+2.00 / −4.00 D 相距 25 cm（Galilean）、+2.00 / +4.00 D 相距 75 cm（Keplerian）；像為原物一半大但近 4 倍 → 視角 2 倍。p.102–103
• Angular magnification（角放大率）：Ma = −P目鏡 / P物鏡；Keplerian 為負（倒立），Galilean 為正（正立）。p.103
• 望遠鏡有時開給視障病人當視覺輔具；輔具通常較偏好 Galilean：比 Keplerian 短、成正立像；Keplerian 需加倒像稜鏡才能正立而增加重量，但收光比 Galilean 多，在某些情況有利⁠^Q289。p.103
• 眼鏡放大的解釋（遠視與 aphakic 病人戴眼鏡）：aphakia（無水晶體）眼內相當有 −12.50 D 的「error lens」，戴 +10.00 D 眼鏡 → 形成 Galilean telescope → 放大 1.25×，病人主觀上可能不滿意；高度近視眼內為正的 error lens，戴高度負鏡 → reverse Galilean telescope → 可能抱怨影像縮小（minification）。p.103

望遠鏡計算範例

• 例 1：+2 D 與 +5 D 組成 Keplerian → 物鏡 +2 D（低度數）、目鏡 +5 D；管長 = 焦距和 = 50 + 20 = 70 cm；Ma = −5/2 = −2.5×；倒立像⁠^Q237。p.102–103
• 例 2：+3 D 與 +1 D → 物鏡 +1 D、目鏡 +3 D；管長 1 + 0.33 ≈ 1.33 m；Ma = −3×、倒立；望遠鏡整體為 afocal system，沒有焦點（個別鏡片有焦點）⁠^Q265。p.102–103
• 例 3：Keplerian 物鏡 3 D、目鏡 12 D → 管長 33.3 + 8.3 ≈ 42 cm⁠^Q289。p.102

十四、附錄推導與公式總整理

• Appendix 1-1：以小角近似（φ = sin φ = tan φ）把 Snell's law 化為 n1θ = n2σ，配合幾何得 n1/u + (n2 − n1)/r = n2/v，令 (n2 − n1)/r = P 即同時得到 vergence 與 lensmaker's equation。p.103–105
• Appendix 1-2：由 Fermat's principle 對總時間 T 微分 dT/dx = 0，可推得 n1 sin θ1 = n2 sin θ2；光在玻璃中較慢，最短直線不一定是最短時間路徑。p.105–107
• Appendix 1-3：由反射定律與小角近似得 1/u − 2/r = −1/v，令 P = −2/r，右側負號表示反轉像空間中的 vergence。p.107–108